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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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7. Sean $f$ y $g$ funciones tales que $f(x)=1+\sqrt{x}, g^{\prime}(x)=\cos ^{2}(3 x)+1$ y $g(0)=4$. Calcule $(f \circ g)^{\prime}(0)$ y $(g \circ f)^{\prime}(0)$.

Respuesta

Atenti acá. Tenemos una función compuesta \( (f \circ g)(x) \), esto era lo mismo que $f(g(x))$, no? Y así quizás se ve mucho más claro cómo lo vamos a derivar usando la regla de la cadena. Nos queda:

$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

(o sea, derivo primero lo de afuera, y multiplico por la derivada de lo de adentro... en este caso, "lo de adentro" es $g(x)$)

Nosotrxs necesitamos encontrar $(f \circ g)^{\prime}(0)$, entonces evaluamos en $x=0$

$ (f \circ g)'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) $

$g(0)$ es dato y vale $4$, entonces:

$ (f \circ g)'(0) = f'(4) \cdot g'(0) $

La derivada de \( f(x) = 1 + \sqrt{x} \) es:
$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

Por lo tanto, $f'(4) = \frac{1}{4}$

Y la derivada de $g$ ya nos la dan, es $ g'(x) = \cos^2(3x) + 1 $

Con lo cual, $g'(0) = 2$

Reemplazamos en nuestra expresión:

$ (f \circ g)'(0) = f'(4) \cdot g'(0) $

$ (f \circ g)'(0) = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} $

Ahora vamos a usar razonamientos similares para calcular $(g \circ f)^{\prime}(0)$

Aplicamos regla de la cadena:

$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) $

Evaluamos en $x=0$

$ (g \circ f)'(0) = g'(f(0)) \cdot f'(0) $

Y acá hay un problema, porque $f'(0)$ no está definida (mirá bien la derivada de $f$, podés evaluarla en $x=0$? cuál es el dominio de $f'(x)$?). Por lo tanto, $ (g \circ f)'(0) $ no está definida, es decir, no existe. También, podrías decir que la función $ (g \circ f)(x)$ no es derivable en $x=0$.
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Avatar Anait 21 de mayo 18:39
Hola profe una consulta si no hubiera esto 1/0
Cos^2(3)+1 cuanto daria
Avatar Flor Profesor 22 de mayo 08:56
@Anait Hola Anait! Ay creo que no entendí tu pregunta

O sea, nosotros en este ejercicio en un momento tenemos esta expresión

$\cos^2(3x) + 1$ 

que es lo mismo que tener

$(\cos(3x))^2 + 1$

y la tenemos que evaluar en $x=0$ 

Cuando vos ahí reemplazas por $x=0$ te queda

$(\cos(0))^2 + 1$

Calculadora en radianes, coseno de 0 es 1, así que por eso te queda $1 + 1 = 2$

Pero vos ahí podrías reemplazar por el $x$ que quieras (en el contexto de otro ejercicio, si tuvieramos que evaluarla en otro x) y podrías hacerlo sin problemas, pero siempre siempre con la calculadora en radianes 

No sé si esto ayuda, sino lo seguimos charlando!
Avatar Luisa 23 de mayo 20:37
Hola profe, buenas noches, una pregunt...
no logro entender como encontraste ese 2 de la funcion en g, es decir, "con lo cual, g(0)=2 de donde salio ese 2, antes de empezar a usar la regla de la cadena.
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 21:34
@Luisa Hola Luisa! Si te referis a esta parte:

Y la derivada de $g$ ya nos la dan, es $g'(x) = \cos^2(3x) + 1 $

Con lo cual, $g'(0) = 2$

Hubo un error de tipeo y escribi $g(0) = 2$, y debería decir $g'(0) = 2$ 

O sea, ahi lo que hicimos fue evaluar $g'(x)$ en $x=0$, fijate que te queda:

$g'(0) = \cos^2(0) + 1 = 1 + 1 $

(porque $\cos(0) = 1$)
Avatar Flor Profesor 23 de mayo 21:35
@Luisa Ahi lo acabo de editar, qué bueno que te diste cuentaaa!
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